Лекция #2 для модуля #2

Векторные проекции

В кабинете привычно мерцали объявления, оставленные преподавателем специально для студентов.

Фиби Холливал взглянула на студентов , и улыбнулась.
- Здравствуйте! Присаживайтесь. Работа нам предстоит практически индивидуальная, а, посему, мне кажется, очень интересная.
Начнём занятие.

И начнём мы с исследования векторных проекций. Разумеется, применительно к Зельеметрике. Здесь неплохо было бы заглянуть в Методичку #3 в Библиотеке кабинета.

Вы уже знаете, что наш ингредиентный состав - весьма и весьма разношёрстным может быть; особенно, когда речь заходит о многокомпонентных зельях. вспомните, как на Зельеварении вы учились отбирать компоненты для зелья, исследовали их свойства, вытягивали основные, дополнительные, пытались состыковать их со всем комплексом свойств остальных ингредиентов.
Те уроки, надеюсь, пошли вам на пользу, - улыбнулась Фиби. - Ведь сегодня мы рассмотрим всё это в визуальном представлении. Ну а если вы не посещали лекции по Зельеварению, то ничего страшного: будем разбираться по порядку и обстоятельно.

Для начала возьмём простое зелье, в котором присутствуют всего два ингредиента, - Успокоительную настойку.

Итак, настойка чемерицы и лунный камень. Взгляните на два графика:

и

График 1 (слева) отражает вектора свойств настойки чемерицы, а График 2 (справа) - вектора свойств лунного камня. Давайте разбираться, что к чему.

Каждый вектор представляет собой отражение действия того или иного свойства ингредиента.
При этом за базу мы берём то свойство, которое является определяющим для нашего зелья в целом, а именно: успокоение, расслабление - именно это свойство будет отражать на двух графиках вектор ОУ (его длину обозначим как «dОУ»).

А теперь вспомним свойства чемерицы и настойки из неё. Вспомним и вздрогнем: что она делает в Успокоительной настойке? Но мы - зельевары, исследующие Зельеметрику, поэтому возьмём себя в руки и начнём пристально изучать.

Выясняется, что настойка чемерицы обладает ярко выраженным свойством - ядовитость, из которого следует такая её характеристика, как: уничтожение паразитов, противочесоточное действие.
Второе свойство - это снижение болевого синдрома, откуда можно выделить такие позиции, как: помощь при ревматической боли, подагре, невралгии, артрите. Основой такого позиционирования является способность настойки чемерицы сокращать артериальное давление, урежать ритм сердца, блокировать прессорецепторы каротидного синуса, понижать возбудимость сосудодвигательного центра. Замечаем некоторые признаки необходимого нам свойства - успокоение, расслабление.
Однако, в то же время, этот ингредиент обладает совершенно противоположным свойством, а именно: снижает кровяное давление, одновременно значительно увеличивая амплитуду сердечных сокращений, раздражает окончания чувствительных нервов, вызывает брадикардию и расширение сосудов.
Кроме того, настойка чемерицы может вызывать тошноту, рвоту, понос, так как усиливает деятельность желудка, кратко говоря.

Таким образом, по итогам изучения данного ингредиента мы можем отразить на Графике 1 следующие векторы:

• вектор ОУ с длиной d0 - основной вектор зелья (свойства: успокоение, расслабление);
• вектор ОЯ с длиной d1 - отражает высокую степень ядовитости ингредиента, возможность отравления;
• вектор ОБ с длиной d2 - отражение свойств болеутоления, снижения деятельности-возбудимости;
• вектор ОА с длиной d3 - характеризует возбудительные свойства, стимулирующие сокращения мышц, раздражение нервов и т.д.

Для визуального удобства еще раз взглянем на График 1:

Теперь поговорим о том, какой длины предположительно наши вектора.

Думаю, никто не будет спорить, что d1=d0.
Ведь сколько бы мы ни взяли настойки чемерицы для Успокоительной настойки в целях успокоения и расслабления, ровно столько же у нас в наличии будет риска отравиться (при прочих равных, разумеется).

Относительно d2 можно полагать, как минимум, d2=d1, а значит, d2=d0. Дело в том, что вектор ОБ должен быть никак не меньше вектора ОЯ, чтобы положительный эффект болеутоления не пресёкся ядовитыми характеристиками чемерицы. Конечно, когда мы возьмём d2 по минимуму, то будем сильно рисковать. Хорошо бы взять d2=2*d1 (на Графике 1 не отражено), но в целях упрощения объяснений пока обойдёмся минимальными величинами.

Для вектора ОА d3=d1 однозначно и, значит, d3=d0. Объясняется данная ситуация тем, что при попытке достичь успокоения, используя исследуемый ингредиент, мы получаем некоторую характеристику, которая на грани ядовитости, фактически. Так, в эту "секцию" мы отнесём попытки использовать настойку чемерицы в качестве средства от алкоголизма: по сути, это будет отравление организма, возбуждение нервной системы, сокращение мышц, рвота и т.д.

Что же касается создания Графика 2 - отражение векторов свойств лунного камня, то об этом расскажете мне вы - в контрольной работе.
На графике вектор ОТВ отражает свойство лунного камня стимулировать творчество и вдохновение, а вектор ОЛ - способность привлекать любовь, высокую, духовную.
Установка, которую следует взять за аксиому: dОУ=dОТВ=dОЛ.


Теперь переходим к очень важному пункту визуализации - моделированию плоскостей, в которых лежат наши вектора.

График 1 модифицируем в График 3:

Для начала нарисуем прямую, на которой лежит вектор ОУ, - серый пунктир.
Затем нарисуем вторую прямую, перпендикулярную первой и проходящую через точку О, - серый пунктир.
В результате мы получили плоскость, очерченную серым цветом, которой принадлежит вектор ОУ, - "серая" плоскость - наша основная («рабочая») плоскость, на которой мы и будем искать векторные проекции.

Далее - для координации - нарисуем плоскость, перпендикулярную "серой" плоскости и проходящую через точку О.
Эта плоскость отражена на Графике 3 желтым цветом - "желтая" плоскость.
Теперь у нас есть система координат в плоскостях. При этом угол α₀=90^о.

Теперь расположим в этой плоскостной системе координат наши вектора.
Вектор ОЯ принадлежит "желтой" плоскости в силу всего того, что мы говорили про него ранее, - про то, какие свойства настойки чемерицы он отражает. Отравление, интоксикация, уничтожение не обратны с успокоением и расслаблением, не равны возбуждению. Это нечто совершенно другое, лежащее в другой плоскости, отличной от "серой".
Вектор ОА также будет принадлежать "желтой" плоскости - для нашего удобства (и для упрощения).
Вектор ОБ, в отличие от двух предыдущих, остался в "серой" плоскости. Оно и понятно: ведь, грубо говоря, при снятии болевых синдромов наступает успокоение - физическое и психологическое. Треугольник ОУБ принадлежит, таким образом, "серой  плоскости, а треугольник ОЯА -  желтой".


Что же касается векторов свойств лунного камня и их плоскостной системы координат, то вот вам График 4, который является модицикацией Графика 2:

О нём вы мне расскажите в контрольной работе - по образу и подобию, как только что мы рассматривали График 3.


Теперь мы готовы делать проекции и обсуждать углы отклонений.

Взглянем на обновлённые графики 3 и 4, на которых отражены проекции исследованных нами векторов, - График 5 и График 6:

и

Благодаря проведённым итерациям мы можем получить две интересные вещи.
Во-первых, зная углы отклонения и длину векторов, мы можем рассчитать величину их проекций (длину отрезков проекций).
Во-вторых, визуализируя выкладки про свойства настойки чемерицы, мы можем получить следующие выводы:

• Плоскость, которой принадлежит треугольник ОББ₁, - "зелёная" плоскость - лежит в "серой" плоскости.
  
• Плоскость, которой принадлежит треугольник ОАА₁, пересекается с "серой" плоскостью, а угол отклонения вектора ОА от неё составит α3.
  При этом вектор ОА также принадлежит плоскости ОЯЯ₁Я₂.
• Плоскость, которой принадлежит вектор ОЯ, - ОЯЯ₁Я₂, она же "красная" плоскость - будет перпендикулярна "серой" плоскости.
  При этом можно предположить, что "красная" плоскость "проходит" сквозь "серую" плоскость, "штрихуя" её "своей ядовитостью" по всей прямой, которой принадлежит вектор ОУ.
• Угол α₁, по понятным причинам, равен 90^о.
  
• Угол α₂ я полагаю равным 45^о, разумеется, плюс-минус несколько градусов.
  Такое положение вектора ОБ объясняется тем, что его необходимо рассматривать практически равноудаленно от вектора ОУ и плоскости ОЯЯ₁Я₂ при её фиксации в точке О. Дело в том, что дозировка тут играет очень важную роль. Отклонение в ту или иную сторону может быть опасным для субъекта, принимающего зелье, так как здесь существенной является характеристика субъекта - возраст, состояние сердечнососудистой системы, наличие или отсутствие беременности и т.д.
  
• Угол α₃≈75^о.
  Объясняется данная ситуация тем, что при попытке достичь успокоения, используя исследуемый ингредиент, мы получаем некоторую характеристику, которая на грани ядовитости, фактически. Так, сюда мы отнесём попытки использовать настойку чемерицы в качестве средства от алкоголизма: по сути, это будет отравление организма, возбуждение нервной системы, сокращение мышц, рвота и т.д.
  Именно поэтому отклонение вектора ОА от "серой" плоскости явно больше α₂ и меньше α₁, причём по причине ядовитости мы всё же склоним вектор ОА к вектору ОЯ.

Надо сказать, что мы делаем несколько допущений для упрощения визуализации:

• Плоскости - бесконечны, но мы их ограничиваем либо треугольниками, либо четырехугольниками.
  Отсюда, у нас есть для вектора ОЯ - плоскость ОЯЯ₁Я₂,    для вектора ОА - плоскость ОАА₁,    для вектора ОБ - плоскость ОББ₁,    для вектора ОУ - вся "серая" плоскость, которая является основной/рабочей плоскостью для нашего зелья.
• Плоскость ОАА₁ лежит в плоскости ОЯЯ₁Я₂, но, в отличие неё, является стационарной, никуда не двигается по вектору ОУ.
• Для удобства и упрощения вектор ОА отнесём к плоскости ОЯЯ₁Я₂.

Про плоскости и углы отклонений для Графика 6 вы расскажите мне сами в контрольной работе. Опять-таки - так же, как только что было сделано для Графика 5.


И вот наступает торжественный момент - мы расскажем про векторные проекции свойств настойки чемерицы в Успокаивающей настойке.

Еще раз взглянем на График 5:

Видим следующее:
Точка О - проекция вектора ОЯ на основную плоскость.
Отрезок ОА₁ - проекция вектора ОА на основную плоскость.
Вектор ОБ и так лежит в основной плоскости.

А теперь важное: нашей конечной целью являются отрезки на прямой, которой принадлежит вектор ОУ. Следовательно, продолжаем констатировать:
Точка О - проекция вектора ОЯ на прямую вектора ОУ.
Точка О - проекция вектора ОА на прямую вектора ОУ.
Отрезок ОБ₁ - проекция вектора ОБ на прямую вектора ОУ.

Таким образом, имея в своём распоряжении длины векторов и углы отклонений, мы спокойно, с помощью тригонометрических формул (см. Методичку #1) можем рассчитать величины проекций - длины отрезков проекций.

Так как проекции векторов ОЯ и ОА - точка, то задач для Графика 5 упрощается: надо найти лишь величину проекции вектора ОБ.

Как вы понимаете, про величину проекций векторов ОТВ и ОЛ я буду ждать рассказа в контрольном задании.
Но будьте внимательны с углами при рассмотрении вектора ОЛ: обратите внимание, что на Графике 4 вектор ОЛ не принадлежит "жёлтой" плоскости. И в итоге есть отрезки ОЛ₁ и ОЛ₂.

- А сейчас наконец-то завершим занятие, - улыбнулась студентам Фиби и выдала им пергаменты с заданиями.

Напоминаю, что максимальная оценка за выполнение Контрольного Задания = 15 баллов.
Надеюсь, что про обоснованность и логичность ответов вам напоминать в каждом задании не надо.
Отправить выполненное контрольное задание вы можете через свой ЛК.

Контрольная работа по данному материалу принимается до конца триместра.