Методичка # 6.

Расчёты в оценке простой модели ЛСЗ

Модель ЛСЗ для занятия в лекции #4 модуля #1:

RP = a + b * P + ε [1]

RP - результирующий параметр - количество ингредиента,
P - влияющий параметр - масса зелья.

Данные эспериментов из лекции #3 модуля #1:

nn	масса зелья (P)	количество ингредиента (RPэ)
1	P1 = 100	RP1 = 20
2	P2 = 200	RP2 = 25
3	P3 = 300	RP3 = 40
4	P4 = 500	RP4 = 44

Согласно лекции #3 модуля #1 получили уравнение регрессии = линии тренда, соответствующей модели:

RP = 14.89 + 0.063 * P [2]

Теперь можем получить модельные данные для RP:

nn	масса зелья (P)	количество ингредиента в эксперименте (RPэ)	количество ингредиента теоретическое, рассчитанное по уравнению регрессии (RPм)
1	P1 = 100	RP1 = 20	RPм1 = 21.20
2	P2 = 200	RP2 = 25	RPм2 = 27.51
3	P3 = 300	RP3 = 40	RPм3 = 33.83
4	P4 = 500	RP4 = 44	RPм4 = 46.46

Показатели RPм мы получаем, просто подставив значения P для каждого эксперимента в наше уравнение регрессии [2].
Например, для первого эксперимента (nn=1):
RPм1 = 14.89 + 0.063 * P1 = 14.89 + 0.063 * 100 = 21.20

Рассчитываем количество степеней свободы «n_f» по формуле:

n_f = n - f - 1 [3]

В этой формуле «n» - количество проведённых экспериментов,
«f» - количество влияющих параметров (P),
а единица вычитается по причине того, что у нас есть ещё один параметр в модели - результирующий (RP).
Для нашей модели n_f = 4 - 1 - 1 = 2

Расчётная (остаточная) дисперсия:

d² = (∑(RPэ-RPм)²) / n_f [4]

Подсчитываем сумму квадратов разниц между экспериментальными данными и модельными (теоретическими):
∑(RPэ-RPм)² = (RPэ1-RPм1)² + (RPэ2-RPм2)² + (RPэ3-RPм3)² + (RPэ4-RPм4)²
∑(RPэ-RPм)² = (20 - 21.20)² + (25 - 27.51)² + (40 - 33.83)² + (44 - 46.46)²
∑(RPэ-RPм)² = 51.89

d² = ∑(RPэ-RPм)² / n_f = 51.89 / 2 = 25.943

Для удобства расчётов две величины:

квадрат дисперсии коэффициента a: «d²_a» = d_a * d_a по формуле:

d²_a = d² * ∑(P - Pср)² / (n * ∑P²) [5]

d² = (только что считали)
Pср = (100 + 200 + 300 + 500) / 4 = 275
∑(P - Pср)² = (100 - 275)² + (200 - 275)² + (300 - 275)² + (500 - 275)²
∑(P - Pср)² = 87500
n = 4
∑ P² мы считали на лекции #3 модуля #1, ∑ P² = 390000
d²_a = 25.943 * (390000 / (4 * 87500)) = 28.908
квадрат дисперсии коэффициента b: «d²_b» = d_b * d_b по формуле:

d²_b = d² / ∑(P - Pср)² [6]

d² - уже считали
∑(P - Pср)² - уже считали
d²_b = 25.943 / 87500 = 0.0002965

Для нахождения величины d_a мы должны извлечь квадратный корень из d²_a,
для нахождения величины d_b - извлечь квадратный корень из d²_b.

d_a = √ 28.908 = 5.377
d_b = √ 0.0002965 = 0.017

Расчёт t-критерия - по формулам:

t_a = a / d_a [7]
t_b = b / d_b [8]

t_a =14.89 / 5.377 = 2.769
t_b = 0.063 / 0.017 = 3.667

Коэффициент детерминации использует формулу:

kd² = 1 - ( ∑(RPэ-RPм)²) / ∑(RPэ-RPср)² ) [9]

∑(RPэ-RPм)² - уже считали, ∑(RPэ-RPм)² = 51.89
RPср = (20 + 25 + 40 + 44) / 4 = 32.25
∑(RPэ-RPср)² = (20 - 32.25)² + (25 - 32.25)² + (40 - 32.25)² + (44 - 32.25)²
∑(RPэ-RPср)² = 400.75
kd² = 1 - (51.89 / 400.75) = 0.87

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

kr = √ kd² [10]

Для нашей модели: kr = √ 0.87 = 0.93

Коэффициент эластичности - по формуле:

ke = b * Pср / RPср [11]

В нашем примере ke = 0.063 * 275 / 32.25 = 0.54

F-критерий рассчитывается по формуле:

F = n_f * (kd² / (1 - kd²)) [12]

F = 2 * 0.87 / (1 - 0.87) = 13.45

Вот теперь можно перейти к заклинанию расчётов и оценки простой модели ЛСЗ.